Mais la tangente trigonométrique de l’angle TMP est
(72) et l’on sait (65) que la différentielle d’un angle est égale à la différentielle de sa tangente, multipliée par le carré du cosinus, donc
![{\displaystyle d.\mathrm {TMP} =\cos \mathrm {TMP} ^{2}.d.{\frac {dx}{dy}}={\frac {dy^{2}}{ds^{2}}}d{\frac {dx}{dy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d48a6c97beddf1be65a63f6b6aa1580f986c976)
,
donc l’équation (B) devient
![{\displaystyle ds=\mathrm {R} {\frac {dy^{2}}{ds^{2}}}d{\frac {dx}{dy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fe9bf0b029fc9d259f47437f8eecebf5dce89a)
,
d’où l’on tire
|
|
(C)
|
Il s’agit maintenant d’appliquer cette formule générale qui n’est qu’une équation imparfaite au cas proposé, c’est-à-dire à la courbe qui a pour équation
![{\displaystyle yy=ax}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89124d039ea04cb654cda956a037242fbfd9a113)
.
En différentiant cette équation, on a
![{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {2y}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec644c68bd37aab608abb4fe178d133991de2ae4)
,
et par conséquent :
![{\displaystyle d{\frac {dx}{dy}}={\frac {2dy}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f8a156f2d5edb40ece4ee686190b1b367a6ba9)
;
ainsi l’équation (C) devient,
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {ads^{3}}{2dy^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a013259bf245dfe71bacd78ad5f62ec5cf93992)
,
ou, à cause de
![{\displaystyle ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cceb37aeb3902aac4458a993547af32297e860)
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {a.(dx^{2}+dy^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{2dy^{3}}}={\tfrac {1}{2}}a\left({\frac {dx^{2}}{dy^{2}}}+1\right)^{\tfrac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fb73efcf515a9aa0a4a887c3a2580def2bccd5)
.
Substituant dans cette équation imparfaite pour
sa valeur