à toutes les variables à la fois, et qu’on égalât à 0 le coefficient différentiel de chacune de ces variables.
75. Soit proposé de trouver le point d’inflexion de la courbe qui a pour équation , si elle en a un.
Soit ABMN (fig. 6) la courbe proposée, que AP soit l’abscisse et MP l’ordonnée, correspondantes au point d’inflexion cherché M. Soit menée un tangente MK à ce point d’inflexion, il est visible que l’angle KMP est un maximum, c’est-à-dire plus grand que l’angle LNQ, formé par une autre tangente quelconque NL et l’ordonnée correspondante NQ ; donc la tangente trigonométrique de l’angle KMP. est aussi un maximum. Mais cette tangente trigonométrique est , donc on doit avoir
Or, la courbe ayant pour équation
on a
donc on doit avoir
ce qui donne
équation qui, étant dégagée de toute considération de l’infini, est rigoureusement exacte.
70. Soit proposé de trouver le rayon du cercle osculateur de la courbe qui a pour équation (fig. 7).
Soit une courbe abcdeF enveloppée d’un fil fixé par l’une de ses extrémités à l’un quelconque F des points de cette courbe, plié sur elle, et dont l’autre extrémité soit M. Si l’on conçoit maintenant que ce fil restant toujours tendu se déroule, et que son extrémité M trace une nouvelle courbe Mmm’, cette nouvelle