module et la base d’un système quelconque :
Donc en général on a
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(D)
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exprimant toujours le logarithme népérien de a, ce qui donne une formule générale pour calculer les logarithmes de ce système.
Si dans cette formule on met pour a sa valeur (57) elle deviendra
.
Si dans cette équation on fait b négatif, elle deviendra
;
retranchant cette équation de la précédente, et observant que
,
on aura
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(F)
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formule très connue qui donne le moyen de construire avec facilité les Tables des logarithmes naturels.
64. D’après ce qui a été dit (57 et 58), nous pouvons facilement différentier toute quantité, soit exponentielle, soit logarithmique ; mais nous observerons que les logarithmes naturels ou népériens sont les seuls qu’on emploie en algèbre, comme étant les plus simples ; que la lettre e est généralement prise pour représenter la base de ce système, c’est-à-dire le nombre dont le logarithme est 1, et qu’enfin ce nombre est 2,71828182845, à très-peu près (59). Cela posé :
Soit proposé de différentier , nous aurons ce qu’on exprime ainsi .