module et la base d’un système quelconque :
![{\displaystyle m={\frac {1}{(a-1)-{\tfrac {1}{2}}(a-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(a-1)^{3}-{\text{etc}}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fa4e55a4e502a74455fe54671f553f55953dcf)
Donc en général on a
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(D)
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exprimant toujours le logarithme népérien de a, ce qui donne une formule générale pour calculer les logarithmes de ce système.
Si dans cette formule on met pour a sa valeur
(57) elle deviendra
![{\displaystyle \log(1+b)=b-{\tfrac {1}{2}}b^{2}+{\tfrac {1}{3}}b^{3}-{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6c51f718505a7e68e38056bccb1a408056e0da)
.
Si dans cette équation on fait b négatif, elle deviendra
![{\displaystyle \log(1-b)=-b-{\tfrac {1}{2}}b^{2}-{\tfrac {1}{3}}b^{3}-{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6371138d1827549d80e94d8d16953cd212f1d767)
;
retranchant cette équation de la précédente, et observant que
![{\displaystyle \log(1+b)-\log(1-b)={\frac {\log(1+b)}{\log(1-b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba11a46c6a7444a6e540096ea818ddd31bbfc8cc)
,
on aura
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(F)
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formule très connue qui donne le moyen de construire avec facilité les Tables des logarithmes naturels.
64. D’après ce qui a été dit (57 et 58), nous pouvons facilement différentier toute quantité, soit exponentielle, soit logarithmique ; mais nous observerons que les logarithmes naturels ou népériens sont les seuls qu’on emploie en algèbre, comme étant les plus simples ; que la lettre e est généralement prise pour représenter la base de ce système, c’est-à-dire le nombre dont le logarithme est 1, et qu’enfin ce nombre est 2,71828182845, à très-peu près (59). Cela posé :
Soit proposé de différentier
, nous aurons
ce qu’on exprime ainsi
.