donc, en prenant de part et d’autre la somme exacte, nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{3H^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C} =\operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \,x^{2}dx+\operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} (3xdx^{2}+dx^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e790cbd66c05f6df12bb61984b1433ab56b5ff69)
,
ou, en transposant,
![{\displaystyle \operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \,x^{2}dx=\left(\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C} \right)-\operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} (3xdx^{2}+dx^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db313e6210ac890d070da4d8b8cdd4288057232)
,
Substituant dans l’équation (A), nous aurons exactement
![{\displaystyle \mathrm {V} =\left(\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C} \right)-\left[\operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} (3xdx^{2}+dx^{3})-\operatorname {som} \varphi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d98fd2b930cf8e095130d6663ea7e368c340b7)
,
équation dans laquelle le dernier terme seul contient des quantités arbitraires et peut être supposé aussi petit qu’on le veut. Faisons donc, pour abréger, ce terme ȹ’; l’équation deviendra, en transposant,
![{\displaystyle \left[\mathrm {V} -\left(\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C} \right)\right]-\varphi '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61817ff7d819e75e4317d775608a8f61654120e2)
.
équation dont par les principes de la méthode des indéterminées chaque terme pris séparément est égal à zéro, ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148e64b3ce51be629999f68c38617116c04a8040)
.
Pour déterminer C, il n’y a qu’à faire x = 0, alors on a V = 0, donc C = 0, donc l’équation se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4246888042579b34f891af1fe0e01fa914e46fc)
,
c’est-à-dire que le volume de la pyramide depuis le sommet jusqu’à la hauteur x est
; donc, pour avoir le volume total de la pyramide, il n’y a plus qu’à supposer x = H, ce qui donnera enfin
![{\displaystyle \mathrm {V={\tfrac {1}{3}}BH} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9260a05a3d2ca1065951f5636175561c1ae4ac)
.
128. Cette solution, comme on le voit, n’est autre chose que celle qu’on obtiendrait par les procédés de l’analyse infinitésimale,