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donc

$b=\mathrm {\frac {B}{H^{2}}} h^{2}$.

Donc V, qui est la somme de tous ces éléments, est égale à la constante $\mathrm {\frac {B}{H^{2}}}$ multipliée par la somme des carrés $h^{2}$ ; et puisque les distances h croissent en progression par différence dont le premier terme est zéro et le dernier H, c’est-à-dire comme les nombres naturels depuis 0 jusqu’à H, les quantités $h^{2}$ représenteront leurs carrés depuis 0 jusqu’à $\mathrm {H^{2}}$.

Or l’algèbre ordinaire nous apprend que la somme des carrés des nombres naturels depuis 0 jusqu’à $\mathrm {H^{2}}$ inclusivement est

$\mathrm {\frac {2H^{3}+3H^{2}+H}{6}}$.

Mais ici le nombre H étant infini, tous les termes qui suivent le premier dans le numérateur disparaissent vis-à-vis de ce premier terme : donc cette somme des carrés se réduit à $\mathrm {{\tfrac {1}{3}}H^{3}}$.

Multipliant donc cette valeur par la constante $\mathrm {\frac {B}{H^{2}}}$ trouvée ci-dessus, on aura pour le volume cherché

$\mathrm {V={\tfrac {1}{2}}BH}$,

c’est-à-dire que le volume de la pyramide est le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

On prouve par une marche semblable qu’en général l’aire de toute courbe qui a pour équation

$ay^{m}=x^{n}$,

est ${\frac {m}{m+n}}\mathrm {XY}$ ; Y représentant la dernière ordonnée, X l’abscisse qui lui répond, m, n, des exposants quelconques, entiers, fractionnaires, positifs ou négatifs.

Ainsi, la méthode des indivisibles supplée à certains égards au calcul intégral ; on peut la regarder comme répondant à l’intégration des monômes, ce qui était certainement une grande découverte du temps de Cavalerius.