D. Si ε′ est un nombre ε quelconque, E(ε + 1) est le nombre ε immédiatement supérieur.
Après le nombre ε initial ε0, vient le nombre ε immédiatement supérieur que nous nommerons ε1
puis le nombre ε immédiatement supérieur ε2
et ainsi de suite.
En général, le (ν + 1)ème nombre ε est donné par la formule de récurrence
(3) | εν = E(εν − 1 + 1). |
Mais la série infinie
ne contient pas tous les nombres ε, comme il résulte du théorème suivant :
E. Si ε, ε′, ε″, … est une série infinie de nombres ε tels que
le nombre lim. ε(ν) est un nombre ε et c’est précisément le nombre immédiatement supérieur à tous les ε(ν).
Démonstration. — Elle résulte de la formule
et de ce fait que le nombre lim. ε(ν) est le nombre de la deuxième classe immédiatement supérieur à tous les ε(ν).
F. La réunion de tous les nombres ε de la deuxième classe, rangés par ordre de grandeur croissante, forme un ensemble bien ordonné, qui a le type Ω de la deuxième classe numérique, où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante ; cet ensemble a donc la puissance alef-un.