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D. Si ε′ est un nombre ε quelconque, E(ε + 1) est le nombre ε immédiatement supérieur.

Après le nombre ε initial ε0, vient le nombre ε immédiatement supérieur que nous nommerons ε1

ε1 = E(ε0 + 1) ;

puis le nombre ε immédiatement supérieur ε2

ε2 = E(ε1 + 1),

et ainsi de suite.

En général, le (ν + 1)ème nombre ε est donné par la formule de récurrence

(3) εν = E(εν − 1 + 1).

Mais la série infinie

ε0, ε1, ε2, …, εν, …

ne contient pas tous les nombres ε, comme il résulte du théorème suivant :

E. Si ε, ε′, ε″, … est une série infinie de nombres ε tels que

ε < ε′ < ε″ … ε(ν) < ε(ν + 1)…,

le nombre lim. ε(ν) est un nombre ε et c’est précisément le nombre immédiatement supérieur à tous les ε(ν).

Démonstration. — Elle résulte de la formule

ωlim. ε(ν) = lim. ωε(ν) = lim. ε(ν)

et de ce fait que le nombre lim. ε(ν) est le nombre de la deuxième classe immédiatement supérieur à tous les ε(ν).

F. La réunion de tous les nombres ε de la deuxième classe, rangés par ordre de grandeur croissante, forme un ensemble bien ordonné, qui a le type Ω de la deuxième classe numérique, où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante ; cet ensemble a donc la puissance alef-un.