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ensemble-produit (Verbindungsmenge) de M et de N. On a ainsi

(4)

(M × N) = {(m, n)}.

On voit facilement que la puissance de (M × N) ne dépend que des puissances de M = a et N = b ; car si l’on remplace les ensembles M et N par les ensembles respectivement équivalents

M′ = {m′} et N′ = {n′}

et si l’on considère m, m′ ainsi que n, n′ comme des éléments associés, on voit que l’ensemble

(M′ × N′) = {(m′, n′)}

est lié à l’ensemble (M × N) par une correspondance biuniforme si l’on fait correspondre les éléments (m, n) et (m′, n′). Ainsi

(5)

(M′ × N′) ∼ (M × N).

Nous pouvons maintenant définir le produit a × b par l’équation

(6)

a × b = (M × N).

On peut aussi déduire des deux ensembles M et N, dont les nombres cardinaux sont a et b, un ensemble de nombre cardinal a × b par la règle suivante : on remplace chaque élément n de l’ensemble N par un ensemble M_n ∼ M ; si l’on considère les éléments de tous ces ensembles M_n réunis en un seul tout S, on voit facilement que

(7)

S ∼ (M × N).

et par suite

S = a × b.

Car si nous désignons par m_n l’élément de M_n correspondant à l’élément m de M, on a :

(8)

S = {mn}