ensemble-produit (Verbindungsmenge) de M et de N. On a ainsi
(4) | (M × N) = {(m, n)}. |
On voit facilement que la puissance de (M × N) ne dépend que des puissances de M = a et N = b ; car si l’on remplace les ensembles M et N par les ensembles respectivement équivalents
et si l’on considère m, m′ ainsi que n, n′ comme des éléments associés, on voit que l’ensemble
est lié à l’ensemble (M × N) par une correspondance biuniforme si l’on fait correspondre les éléments (m, n) et (m′, n′). Ainsi
(5) | (M′ × N′) ∼ (M × N). |
Nous pouvons maintenant définir le produit a × b par l’équation
(6) | a × b = (M × N). |
On peut aussi déduire des deux ensembles M et N, dont les nombres cardinaux sont a et b, un ensemble de nombre cardinal a × b par la règle suivante : on remplace chaque élément n de l’ensemble N par un ensemble Mn ∼ M ; si l’on considère les éléments de tous ces ensembles Mn réunis en un seul tout S, on voit facilement que
(7) | S ∼ (M × N). |
et par suite
Car si nous désignons par mn l’élément de Mn correspondant à l’élément m de M, on a :
(8) | S = {mn} |