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et supposons que

α > β.

Mettons les nombres α et β sous forme de produit (théorème G) et soit

α = δα′,  β = δβ′,

où les premiers facteurs de gauche de α′ et β′ (sauf 1) sont différents. On a alors

α′ > β′.

et

α′δβ′ = β′δα′.

Tous les nombres intervenant ici et dans la suite sont de première espèce, d’après la supposition faite sur α et β.

La dernière équation fait immédiatement reconnaître (eu égard au théorème G) que les nombres α′ et β′ ne peuvent, tous les deux, être transfinis, car, dans ce cas, leurs premiers facteurs communs de gauche seraient égaux. Ils ne peuvent non plus être finis tous deux ; car δ serait alors transfini et, en désignant par κ son premier facteur fini de gauche, on aurait

α′κ = β′κ

et par suite

α′ = β′.

On a donc nécessairement

α′ > ω,  β′ < ω,

Mais le nombre fini β′ doit être égal à 1,

β′ = 1

car autrement ce serait un diviseur du facteur de gauche de α′.

Nous arrivons à ce résultat que β = δ, et par suite

α = βα′

où α′ est un nombre de première espèce appartenant à la deuxième classe et qui doit être plus petit que α :

α′ < α.