entraîne
Démonstration. — D’après 1o et 2o nous avons
et par suite, puisque δ > 0, γ > 1
Supposons le théorème établi pour toutes les valeurs de ξ qui sont < α, α étant un nombre quelconque de la deuxième classe. Je dis qu’il est encore vrai pour ξ ≤ α. Car si α est de la première espèce, il résulte de 3o
et les conditions 2o, 3o et 4o sont vérifiées par ξ ≤ α.
Mais si α est de la deuxième espèce et défini par la série fondamentale {αν}
il résulte de 2o que {f(αν)} est une série fondamentale, et de 4o que f(α) = lim. f(αν). Si l’on considère une autre série fondamentale {α′ν}, telle que α = lim. α′ν, les deux séries fondamentales {f(αν)} et {f(α′ν)} sont liées, en vertu de 2o, et par suite
La valeur f(α) est donc unique.
Si α′ est un nombre quelconque < α, on voit facilement que f(α′) < f(α). Les conditions 2o, 3o et 4o sont donc aussi remplies pour ξ ≤ α. Le théorème est donc établi pour toutes les valeurs de ξ.
Car s’il y avait des valeurs exceptionnelles de ξ pour lesquelles il n’aurait pas lieu, une de ces valeurs, que nous appelons α, devrait être la plus petite. Le théorème serait donc
