α′ < α est surpassé par les nombres α′ρν pour des valeurs suffisamment grandes de ν.
Mais α est le nombre immédiatement supérieur à tous les α′ ; par suite il est aussi le nombre immédiatement supérieur à tous les α′ρν. Donc, si nous posons α′1 = α1, α′ρν + 1 = αν + 1, il vient
Il résulte des théorèmes B, C, …, K, que les nombres de la deuxième classe s’engendrent de deux manières à partir des nombres plus petits. Les uns que nous nommerons nombres de première espèce, sont obtenus en ajoutant 1 à un nombre immédiatement inférieur
les autres que nous nommerons nombres de deuxième espèce, sont tels qu’il n’y a pas pour eux de nombre immédiatement inférieur α1 ; ils sont définis comme limites de séries fondamentales par la formule
α est ici le nombre immédiatement supérieur à tous les nombres αν.
Ces deux façons d’engendrer de grands nombres à partir de plus petits, seront nommés le premier et le deuxième principe de formation des nombres de la deuxième classe.
§ 16. — La puissance de la deuxième classe numérique est égale au deuxième nombre cardinal transfini alef-un.
Avant de commencer, aux paragraphes suivants, l’étude détaillée des nombres de la deuxième classe et des principes qui les dominent, nous voulons rechercher quel nombre cardinal correspond à la classe Z(ℵ0) = {α} de tous ces nombres.
