1o et 2o les lettres M et N, on obtient deux conditions qui sont contradictoires aux premières.
Nous exprimons la relation de a à b caractérisée par les conditions 1o et 2o en disant : a est plus petit que b ou encore b est plus grand que a, ce que nous écrivons
| (1) | a < b ou b > a. |
On démontre facilement que
| (2) | Si a < b, b < c, on a toujours a < c. |
De même, il résulte immédiatement de la définition que si P1 est une partie d’un ensemble P, la relation a < P1 entraîne toujours a < P et P < b entraîne aussi P1 < b.
Nous avons vu que chacune des trois relations
exclut les deux autres.
Au contraire, il n’est nullement évident, et nous ne pourrions que difficilement démontrer actuellement que pour deux nombres cardinaux quelconques a et b, l’une de ces trois relations est nécessairement vérifiée.
Bientôt, lorsque nous aurons jeté un coup d’œil sur la suite ascendante des nombres cardinaux infinis et que nous aurons pénétré leur enchaînement, nous reconnaîtrons l’exactitude du théorème suivant :
A. — Si a et b sont des nombres cardinaux arbitraires, l’on a :
On déduit très simplement de ce théorème les propositions suivantes dont nous ne ferons provisoirement aucun usage.
B. — Si deux ensembles M et N sont tels que M est équivalent à une partie N1 de N et N équivalent à une partie M1 de M, M et N sont aussi équivalents.
C. — Si M1 est une partie d’un ensemble M, M2 une partie de l’ensemble M1 et si les ensembles M et M2, sont équivalents, ils sont aussi équivalents à l’ensemble M1.
D. — Si deux ensembles M et N sont tels que N n’est équivalent ni avec
