En posant
| (18) | αν = β1 + β2 + … + βν, |
il vient
| (19) | αν = (G1, G2, …, Gν). |
De plus
| (20) | αν + 1 > αν, |
et les nombres βν s’expriment d’après (10), à l’aide des nombres α comme il suit :
| (21) | β1 = α1, βν + 1 = αν + 1 − αν. |
La série
est une série infinie quelconque de nombres ordinaux qui remplissent la condition (20) ; nous l’appellerons une série fondamentale de nombres ordinaux ; la relation qui l’unit à β peut s’exprimer de la manière suivante :
1o β est > αν, pour toutes valeurs de ν, car l’ensemble (G1, G2, …, Gν), dont le nombre ordinal est αν, est un segment de l’ensemble G qui a le nombre ordinal β.
2o Si β′ est un nombre ordinal quelconque < β, on a toujours, à partir d’une certaine valeur de ν,
car si β′ est < β, il y a dans l’ensemble G un segment B′ de type β′. L’élément qui détermine ce segment doit appartenir à l’une des parties Gν, soit Gν0. Mais alors B′ est aussi segment de (G1, G2, …, Gν0) et par suite
Donc αν > β′ pour ν ≥ ν0.
Ainsi β est le nombre immédiatement supérieur à tous les αν ; nous le nommerons la limite de αν pour ν croissant indéfiniment et le désignerons par lim. αν, de sorte que, d’après (16) et (21) :
| (22) | lim. αν = α1 + (α2 − α1) + (α3 − α2) + … + (αν + 1 − αν) + … |
