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qu’entre les éléments de M et les diverses unités de son nombre cardinal M existe une correspondance biuniforme. Car, comme nous l’avons vu, M résulte de M en ce sens que chaque élément de M devient une unité de M. Nous pouvons donc dire que

M ∼ M.

De même N ∼ N, et comme l’on a M = N, il en résulte, d’après (6), M ∼ N.

De la notion de l’équivalence résulte encore immédiatement le théorème suivant :

Si M, N, P, … sont des ensembles formés d’éléments tous distincts et si M′, N′, P′, … sont des ensembles correspondants analogues, les relations

M ∼ M′N ∼ N′P ∼ P′…

ont pour conséquence

(M, N, P, …) ∼ (M′, N′, P′, …).

§ 2. — Comparaison des puissances.

Si les deux ensembles M et N, dont les nombres cardinaux sont a = M et b = N, remplissent les deux conditions :

1^o  Il n’y a aucune partie de M qui soit équivalente à N,

2^o  Il y a une partie N₁ de N, telle que N₁ ∼ M,

il est tout d’abord évident que celles-ci sont aussi remplies lorsqu’on remplace les ensembles M et N par deux ensembles respectivement équivalents M′ et N′ ; elles expriment donc une relation déterminée entre les nombres cardinaux a et b.

De plus, l’équivalence de M et N, et par suite l’égalité de a et b sont exclues ; car si l’on avait M ∼ N et N₁ ∼ M, on aurait aussi N₁ ∼ N, et en vertu de l’équivalence des ensembles M et N, il existerait une partie M₁ de M telle que M₁ ∼ M, et par suite M₁ ∼ N, ce qui est contraire à la première condition.

En troisième lieu, la relation de a à b est telle qu’elle exclut la même relation de b à a ; car si l’on permute dans