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démonstration de L.) S’il y avait dans F des segments n’admettant dans G aucun segment semblable, l’un d’eux serait plus petit que tous les autres, nous le nommons A₁. À chaque segment de A₁ correspondrait alors un segment semblable de B₁ et à chaque segment de B₁ un segment semblable de A₁. Donc, d’après le théorème K,

B₁ ≃ A₁.

Mais ceci est contraire à l’hypothèse qu’aucun segment de F n’est semblable à B₁. Il ne peut donc y avoir dans F aucun segment qui ne corresponde à un segment semblable de B.

N. Si F et G sont deux ensembles bien ordonnés, il peut se présenter trois cas : 1^o  F et G sont semblables ; 2^o  un segment déterminé B₁ de G est semblable à F ; 3^o  un segment déterminé A₁ de F est semblable à G. Chacun de ces cas exclut les deux autres.

Démonstration. — F peut se comporter de trois façons différentes relativement à G :

1^o  Tout segment A de F est semblable à un segment B de G et inversement ;

2^o  Tout segment A de F est semblable à un segment B de G ; par contre, un segment de G au moins, n’est semblable à aucun segment de F ;

3^o  Tout segment B de G est semblable à un segment A de F ; par contre, un segment de F au moins, n’est semblable à aucun segment de G.

Le cas où un segment de F n’est semblable à aucun segment de G, et aussi un segment de G n’est semblable à aucun segment de F, est exclu par le théorème M.

Dans le premier cas, le théorème K montre que

F ≃ G.

Dans le deuxième cas, le théorème L affirme qu’il y a un segment  B₁ de G tel que

B₁ ≃ F