l’élément n1 de N, tandis qu’à l’élément n0 de N correspondrait l’élément m1 de M ; il suffit donc de modifier la loi d’association de façon que m0 et n0 et de même m1 et n1 deviennent des éléments correspondants des deux ensembles, et cela sans modifier la correspondance des autres éléments. Nous avons alors atteint notre but.
Un ensemble est équivalent à lui-même
| (5) | M ∼ M. |
Si deux ensembles sont équivalents à un troisième, ils sont équivalents entre eux.
| (6) | De M ∼ P et N ∼ P il résulte M ∼ N. |
Il est d’importance capitale que deux ensembles M et N ont alors et seulement alors le même nombre cardinal lorsqu’ils sont équivalents.
| (7) | De M ∼ N résulte M = N |
et
| (8) | De M = N résulte M ∼ N. |
L’équivalence de deux ensembles est aussi la condition nécessaire et suffisante de l’égalité de leurs nombres cardinaux.
En effet, d’après la définition de la puissance donnée plus haut, le nombre cardinal M reste inaltéré lorsqu’on substitue d’autres objets à un, à plusieurs ou à tous les éléments de M.
Or, si l’on a M ∼ N, il y a une loi d’association qui réalise une correspondance biuniforme de M et N et fait correspondre à l’élément m de M l’élément n de N. Nous pouvons donc substituer à chaque élément m de M l’élément correspondant n de N et par cette opération transformer M en N sans changer le nombre cardinal. Donc
La réciproque de ce théorème résulte de la remarque
