2o Pour tout élément m de M qui est ≻ m0, il existe un certain nombre ν0 tel que
Une série fondamentale ne peut avoir plus d’un élément limite dans M ; mais M a en général plusieurs éléments principaux.
On reconnaît facilement l’exactitude des propositions :
C. Si une série fondamentale a un élément limite dans M, toutes les séries fondamentales liées avec elle ont dans M le même élément limite.
D. Si deux séries fondamentales (de même nature ou de nature différente) ont le même élément limite, elles sont liées entre elles.
Si M et M′ sont deux ensembles ordonnés semblables de sorte que
| (6) | M = M′ |
et si l’on considère une application quelconque des deux ensembles, on voit facilement que les théorèmes suivants sont exacts :
E. À toute série fondamentale de M correspond comme image une série fondamentale de même nature, et réciproquement ; à des séries fondamentales liées de M correspondent des séries fondamentales liées de M′, et réciproquement.
F. Si une série fondamentale de M possède un élément limite dans M, la série fondamentale correspondante de M′ a un élément limite dans M′ ; ces deux éléments limites sont images l’un de l’autre dans l’application.
G. Les éléments principaux de M ont pour images les éléments principaux de M′ et réciproquement.
Un ensemble M dont tous les éléments sont des éléments principaux est dit un ensemble dense (insichdicht).
Si toute série fondamentale de M a en M un élément limite, nous disons que M est un ensemble enchaîné (abgeschlossene).
