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et qu’à chaque élément b′_ν on peut adjoindre b_μ tel que

b′_ν ≻ b_μ.

Une série fondamentale ascendante {a_ν} et une série descendante {b_ν} sont dites « liées » et nous écrivons

(6)

{aν} ǁ {bν}

lorsque : 1^o pour toutes les valeurs de μ et ν on a :

a_ν ≺ b_μ

2^o il y a en M au plus un élément m₀ (c’est-à-dire qu’il y en a un ou pas du tout) tel que pour toutes les valeurs de ν

a_ν ≺ m₀ ≺ b_ν.

Nous pouvons alors énoncer les théorèmes :

A. Deux séries fondamentales qui sont liées à une troisième sont aussi liées entre elles.

B. Deux séries de même nature, dont l’une est une partie de l’autre, sont toujours liées.

S’il existe dans M un élément m₀ qui ait, par rapport à la série fondamentale ascendante  {a_ν} une position telle que

1^o Pour toute valeur de ν

a_ν ≺ m₀.

2^o Pour tout élément m de M qui est ≺ m₀ il existe un certain nombre ν₀ tel que

a_ν ≻ m pour ν ≥ ν₀,

nous appellerons m₀ un élément limite de {a_ν} dans M, ou encore un élément principal de M.

De même nous dirons aussi que m₀ est un élément principal de M ou un élément limite de {b_ν} dans M, si les conditions suivantes sont remplies :

1^o Pour toute valeur de ν

b_ν ≻ m₀.