Nous dirons qu’un ensemble M1 est une « partie » de l’ensemble M, si les éléments de M1 sont aussi des éléments de M.
Si M2 est une partie de M1, M1 une partie de M, M2 est aussi une partie de M.
À tout ensemble M correspond une « puissance » bien déterminée que nous appelons aussi son « nombre cardinal ».
Nous appelons « puissance » ou « nombre cardinal » de M, la notion générale que nous déduisons de M à l’aide de notre faculté de penser, en faisant abstraction de la nature des différents éléments m et de leur ordre.
Nous représentons par
| (3) | M |
le nombre cardinal ou puissance de M, résultat de ces deux abstractions.
Chaque élément isolé m, abstraction faite de sa nature, est une « unité » ; le nombre cardinal M est donc lui-même un ensemble déterminé d’unités qui se présente comme l’image ou la projection de l’ensemble M dans notre esprit.
Nous disons que deux ensembles M et N sont « équivalents » et nous écrivons
| (4) | M ∼ N ou N ∼ M |
lorsqu’il est possible de les associer, de telle sorte qu’à chaque élément de l’un d’eux corresponde un et un seul élément de l’autre.
À chaque partie M1 de M correspond alors une partie déterminée équivalente N1 de N, et réciproquement.
Si l’on a trouvé une telle loi d’association pour deux ensembles équivalents, on peut (sauf le cas où ceux-ci ne comprendraient qu’un seul élément) en trouver plusieurs autres. Notamment, on peut toujours faire en sorte qu’à un élément déterminé m0 de M, corresponde un élément déterminé n0 de N. Car, si la loi d’association primitive ne faisait pas correspondre m0 et n0, c’est qu’à l’élément m0 de M correspondrait
