minée ; il y a dans R une infinité d’éléments qui ont avec r1, r2, …, rλ, la même relation, soit rλ + σ celui d’entre eux qui a dans R0 le plus petit indice.
On voit facilement alors que mν + 1 a, par rapport aux éléments,
la même position dans M que rλ + σ par rapport à
dans R. Comme m1, m2, …, mν ont déjà été obtenus par la représentation, mν + 1 est l’élément de moindre indice dans M0 qui a la même position par rapport à
D’après notre loi d’association on a donc
Notre correspondance nous donne donc bien l’élément mν + 1 et nous voyons ici que l’élément qui lui est adjoint est rλ + σ.
Ainsi, notre loi d’association nous permet de représenter l’ensemble M tout entier sur l’ensemble R entier ; M et R sont donc des ensembles semblables.
Du théorème que nous venons de démontrer résultent par exemple les théorèmes suivants :
η est le type de l’ensemble de tous les nombres rationnels négatifs et positifs, y compris zéro, rangés par grandeur croissante.
η est le type de l’ensemble des nombres rationnels plus grands que a et plus petits que b, rangés par grandeur croissante (a et b étant deux nombres réels quelconques a < b).
η est le type de l’ensemble de tous les nombres algébriques réels rangés par grandeur croissante.
η est le type de l’ensemble de tous les nombres algébriques rangés par grandeur croissante qui sont plus grands que a