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minée ; il y a dans R une infinité d’éléments qui ont avec r₁, r₂, …, r_λ, la même relation, soit r_{λ + σ} celui d’entre eux qui a dans R₀ le plus petit indice.

On voit facilement alors que m_{ν + 1} a, par rapport aux éléments,

m₁, m_t2, m_t3, …, m_{tλ + σ − 1},

la même position dans M que r_{λ + σ} par rapport à

r₁, r₂, r₃, …, r_{λ + σ − 1},

dans R. Comme m₁, m₂, …, m_ν ont déjà été obtenus par la représentation, m_{ν + 1} est l’élément de moindre indice dans M₀ qui a la même position par rapport à

m₁, m_t2, m_t3, …, m_{tλ + σ − 1},

D’après notre loi d’association on a donc

m_{tλ + σ} = m_{ν + 1}.

Notre correspondance nous donne donc bien l’élément m_{ν + 1} et nous voyons ici que l’élément qui lui est adjoint est r_{λ + σ}.

Ainsi, notre loi d’association nous permet de représenter l’ensemble M tout entier sur l’ensemble R entier ; M et R sont donc des ensembles semblables.

C. Q. F. D.

Du théorème que nous venons de démontrer résultent par exemple les théorèmes suivants :

η est le type de l’ensemble de tous les nombres rationnels négatifs et positifs, y compris zéro, rangés par grandeur croissante.

η est le type de l’ensemble des nombres rationnels plus grands que a et plus petits que b, rangés par grandeur croissante (a et b étant deux nombres réels quelconques a < b).

η est le type de l’ensemble de tous les nombres algébriques réels rangés par grandeur croissante.

η est le type de l’ensemble de tous les nombres algébriques rangés par grandeur croissante qui sont plus grands que a