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que les éléments correspondants dans R, et à l’élément r_{ν + 1} de R on fera correspondre l’élément m_{tν + 1} de M qui a le moindre indice dans M₀ et qui a, avec

m₁, m_t2, m_t3, …, m_tν,

les mêmes relations de rang que r_{ν + 1} avec r₁, r₂, r₃, …, r_ν dans R.

De cette manière, nous avons adjoint à tous les éléments r_ν de R des éléments déterminés m_tν de M, et ces éléments ont le même ordre de succession que les éléments correspondants dans R.

Mais il nous faut encore montrer que les éléments m_tν comprennent tous les éléments m_ν ou, ce qui revient au même, que la série

1, t₂, t₃, …, t_ν, …

n’est qu’une transposition de la série

1, 2, 3, …, ν, …

Nous démontrerons ceci en prouvant que si les éléments m₁, m₂, …, m_ν sont obtenus par la correspondance, il en est de même de l’élément suivant m_{ν + 1}.

Prenons λ assez grand pour que la suite

m₁, m_t2, m_t3, …, m_tλ,

contienne les éléments

m₁, m₂, m₃, …, m_ν,

(qui, par hypothèse, sont contenus dans la suite infinie m₁, m_t2, …, m_tν, …). Il peut arriver que m_{ν + 1} se trouve parmi ces éléments m₁, …, m_tλ, et alors on a bien prouvé que m_{ν + 1} est obtenu par la correspondance.

Mais si m_{ν + 1} n’est pas compris parmi les éléments

m₁, m_t2, m_t3, …, m_tλ,

m_{ν + 1} a alors avec ces éléments une relation de rang déter-