sont > 0 et < 1, rangés par ordre de grandeur croissante. Nous désignons par η le type de R
| (1) | η = R. |
Mais nous avons aussi rangé les éléments de cet ensemble dans un autre ordre ; dans ce nouvel ensemble que nous appelions R0, le rang était déterminé en première ligne par la grandeur de p + q et en deuxième ligne, c’est-à-dire pour les nombres rationnels pour lesquels p + q la même valeur, par la grandeur de pq lui-même. Alors R0 se présente comme un ensemble bien ordonné de type ω.
| (2) | R0 = (r1, r2, …, rν, …) où rν ≺ rν + 1 |
| (3) | R0 = ω |
R et R0 ont le même nombre cardinal puisqu’ils ne diffèrent que par l’ordre des éléments, et comme évidemment R0 = ℵ0, on a aussi
| (4) | R = η = ℵ0. |
Le type η appartient donc à la classe de types [ℵ0].
Nous remarquons en deuxième lieu que dans R il n’y a pas d’élément qui ait un rang inférieur à tous les autres ou supérieur à tous les autres.
En troisième lieu, R a la propriété qu’entre deux de ses éléments il en existe toujours d’autres ; nous exprimons cette propriété en disant que R est partout dense (überalldicht).
Nous voulons montrer maintenant que ces trois propriétés caractérisent le type η de R, de sorte que l’on a le théorème suivant :
Si un ensemble simplement ordonné M vérifie les trois conditions :
1o M = ℵ0 ;
2o M n’a aucun élément de rang inférieur ni supérieur à tous les autres ;
