De plus, l’ordre de succession des éléments de
| (4) | S = {Mn}. |
se déterminera comme il suit :
1o Deux éléments de S qui appartiennent à un même ensemble Mn gardent dans S le même ordre de succession que dans Mn.
2o Deux éléments de S qui appartiennent à deux ensembles différents Mn1 et Mn2 prennent dans S le même ordre de succession que les éléments n1 et n2 dans N.
Il est facile de voir que le type de S ne dépend que des types α et β ; nous définissons donc
| (5) | α.β = S. |
Dans ce produit α s’appelle le multiplicande, β le multiplicateur.
Appelons mn l’élément de Mn qui, par une application quelconque, correspond à l’élément m de M.
Nous pouvons alors écrire
| (6) | S = {mn}. |
Si nous introduisons maintenant un troisième ensemble ordonné P = {p}, de type P = γ, on a, d’après (5),
Mais les deux ensembles ordonnés{(mn)p} et {m(np)} sont semblables et sont appliqués l’un sur l’autre lorsque l’on fait correspondre leurs éléments (mn)p et m(np).
Par suite, pour trois types α, β et γ, la loi associative est vraie.
| (7) | (α.β).γ = α.(β.γ). |
