Cette définition de l’égalité contient un cercle et devient un non-sens.
Que signifie : n’est pas égal à une partie de l’autre ?
Pour répondre à cette question, on doit d’abord savoir quand deux nombres sont égaux ou non. Ainsi cette définition de l’égalité (abstraction faite de son arbitraire) suppose une définition de l’égalité, qui de nouveau suppose une définition de l’égalité, pour laquelle nous devons encore savoir ce qui est égal et ce qui ne l’est pas, et ainsi de suite indéfiniment.
Après que M. Véronèse a, de cette manière, sacrifié volontairement le fondement indispensable de l’égalité des nombres, on ne doit pas être surpris de l’irrégularité avec laquelle il opère dans la suite sur ses nombres pseudo-transfinis et leur attribue des propriétés qu’ils ne peuvent posséder, car dans la forme imaginée par lui, ils n’ont aucune existence sauf sur le papier. Ainsi devient claire la similitude frappante que ses formations numériques ont avec les plus absurdes « nombres infinis » de Fontenelle (Géométrie de l’infini, Paris, 1727).
M. W. Killing a aussi exprimé, dans les Index lectionum de l’Académie de Munster, ses scrupules contre les principes du livre de Véronèse.
§ 8. — Addition et multiplication des types.
L’ensemble-somme (M, N) de deux ensembles M et N peut aussi, lorsque ces derniers sont ordonnés, être considéré lui-même comme un ensemble ordonné, dans lequel les éléments de M ainsi que les éléments de N conservent entre eux l’ordre de succession qu’ils ont respectivement dans M ou N, tandis que tous les éléments de M ont un rang plus bas que ceux de N.
Si M′ et N′ sont deux autres ensembles ordonnés, M ≃ M′, N ≃ N′, on aura aussi (M, N) ≃ (M′, N′) ; le type de (M, N) ne dépend donc que des types M = α, N = β ; nous définissons ainsi
| (1) | α + β = (M, N). |
