De M = N résulte toujours M = N, c’est-à-dire que deux ensembles ordonnés de même type ont toujours la même puissance ou le même nombre cardinal. La similitude des ensembles ordonnés entraîne toujours leur équivalence ; au contraire, deux ensembles ordonnés peuvent être équivalents sans être semblables.
Nous emploierons pour désigner les types ordinaux les petites lettres de l’alphabet grec.
Si α est un type ordinal, nous désignerons par
| (5) | α |
le nombre cardinal correspondant.
Les types des ensembles simplement ordonnés finis n’offrent aucun intérêt particulier. Car on voit facilement que tous les ensembles simplement ordonnés qui correspondent à un nombre cardinal fini ν, sont semblables, et ainsi ont un seul et même type. Ces types sont donc soumis aux mêmes lois que les nombres cardinaux finis et il sera permis d’employer pour eux les mêmes signes 1, 2, 3, …, ν, …, bien qu’ils soient une notion différente de celle des nombres cardinaux.
Il en est tout autrement des types des ensembles infinis, car à un nombre cardinal unique correspondent une infinité de types différents d’ensembles simplement ordonnés dont l’ensemble constitue une « classe de types » (Typenclasse).
Chacune de ces classes de types est ainsi déterminée par un nombre cardinal infini a qui est commun à tous les types isolés appartenant à la classe ; ce sera la classe de types [a].
Celle de ces classes qui se présente tout d’abord naturellement et dont l’étude complète doit être le but immédiat de la théorie des ensembles transfinis est la classe de types [ℵ0], qui comprend tous les types qui ont le plus petit nombre cardinal infini ℵ0.
Il importe de distinguer du nombre cardinal a, qui détermine la classe des types [a], le nombre cardinal a′ qui, de son côté, est déterminé par la classe des types [a] ; ce dernier est
