Page:Cantor - Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, trad. Marotte, 1899.djvu/24

petite (après fixation d’une origine et d’une direction positive).

Il est clair que le même ensemble peut être simplement ordonné de différentes façons. Considérons par exemple l’ensemble R de tous les nombres rationnels positifs p/q (où p et q sont premiers entre eux), qui sont plus petits que 1 ; on peut les ordonner en les rangeant par grandeur croissante. Mais ils peuvent aussi être ordonnés de la façon suivante (et nous appellerons R₀ l’ensemble ainsi ordonné) : des deux nombres p₁/q₁ et p₂/q₂ pour lesquels les sommes p₁ + q₁ et p₂ + q₂ sont différentes, celui-là aura le rang inférieur qui correspond à la somme la plus petite ; si ces deux sommes sont égales, on attribuera le rang inférieur au plus petit des deux nombres.

Comme à une seule et même valeur de p + q ne correspondent toujours qu’un nombre fini de nombres rationnels différents, notre ensemble ainsi ordonné aura la forme

R₀ = (r₁, r₂, …, r_ν, …) = (1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 1/5, 1/6, 2/5, 3/4, …)

où

r_ν ≺ r_{ν + 1}.

Lorsque nous parlerons d’un ensemble M simplement ordonné, nous nous représenterons toujours ses éléments placés dans un ordre de succession déterminé au sens qui vient d’être précisé.

Il y a des ensembles ordonnés d’ordre deux, d’ordre trois, d’ordre ν, d’ordre a, mais nous ne nous en occuperons pas provisoirement. Par suite il nous sera permis d’employer dans la suite l’expression plus courte « ensemble ordonné », alors que nous aurons en vue un « ensemble simplement ordonné ».

À tout ensemble ordonné M correspond un type ordinal (Ordnungstypus) déterminé que nous désignerons par

(2)

M

Nous entendrons par là la notion générale qui résulte de M