résulte de la même manière que ℵ1 résulte de ℵ0, un nombre immédiatement supérieur ℵω + 1, et ainsi de suite indéfiniment.
Ainsi on déduit, par une loi simple, d’un nombre cardinal infini quelconque a, un autre nombre immédiatement supérieur et, de plus, de cet ensemble ascendant illimité et bien ordonné {a} de nombres cardinaux a résulte simplement un nombre immédiatement supérieur.
Pour démontrer rigoureusement ces résultats trouvés en l’année 1882 et déjà publiés dans mon ouvrage : Grundlagen einer allgemeinen Mannigfältigkeitslehre (Leipzig, 1883), ainsi qu’au tome XXI des Mathematische Annalen, nous emploierons la notion de type, dont nous allons d’abord développer la théorie dans les paragraphes suivants.
§ 7. — Les types ordinaux (Ordnungstypen) des ensembles simplement ordonnés.
Nous dirons qu’un ensemble M est simplement ordonné lorsqu’on a rangé ses éléments dans un ordre de succession jouissant des deux propriétés suivantes : 1o de deux éléments quelconques m1 et m2, l’un m1 a le rang le plus bas, l’autre le rang le plus élevé ; 2o si de trois éléments m1, m2, m3, m1 a un rang plus bas que celui de m2 et m2 un rang plus bas que celui de m3, le rang de m1 est aussi plus bas que celui de m3.
La relation de deux éléments m1 et m2 qui fait que m1 a un rang plus bas que celui de m2 dans l’ordre de succession adopté sera exprimé par les formules
| (1) | m1 ≺ m2, m2 ≻ m1. |
Ainsi tout ensemble ponctuel défini, porté par une droite illimitée, est un ensemble simplement ordonné, lorsque pour deux points quelconques p1 et p2, appartenant à cet ensemble on attribue le rang inférieur à celui dont l’abscisse est la plus
