Par exemple, si m0 est un élément particulier de M et si l’on suppose que pour tous les éléments n on a
on a une représentation particulière de N sur M.
On obtiendra une autre représentation lorsque, m0 et m1 étant deux éléments différents de M, n0 un élément particulier de N, on pose
pour tous les n différents de n0.
La réunion de toutes les représentations distinctes de N sur M forme un ensemble déterminé dont les éléments sont f(N) ; nous le nommons l’ensemble exponentiel (Belegungsmenge) de N avec M et nous le représentons par la notation (N|M). Ainsi
(2) | (N|M) = {f(N)}. |
Si M ∼ M′, N ∼ N′, on voit facilement que
(3) | (N|M) ∼ (N′|M′). |
Le nombre cardinal de (N|M) ne dépend donc que des nombres cardinaux M = a et N = b ; cela nous conduit à la définition de ab
(4) | ab = (N|M). |
Pour trois ensembles quelconques, M, N et P, on démontre facilement les théorèmes suivants :
(5) | [(N|M) × (P|M)] ∼ [(N, P)|M] |
(6) | [(P|M) × (P|N)] ∼ [P|(M × N)] |
(7) | [P|(N|M)] ∼ [(P × N)|M] |