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Par exemple, si m₀ est un élément particulier de M et si l’on suppose que pour tous les éléments n on a

f(n) = m₀

on a une représentation particulière de N sur M.

On obtiendra une autre représentation lorsque, m₀ et m₁ étant deux éléments différents de M, n₀ un élément particulier de N, on pose

f(n₀) = m₀

f(n)₀ = m₁

pour tous les n différents de n₀.

La réunion de toutes les représentations distinctes de N sur M forme un ensemble déterminé dont les éléments sont f(N) ; nous le nommons l’ensemble exponentiel (Belegungsmenge) de N avec M et nous le représentons par la notation (N|M). Ainsi

(2)

(N|M) = {f(N)}.

Si M ∼ M′, N ∼ N′, on voit facilement que

(3)

(N|M) ∼ (N′|M′).

Le nombre cardinal de (N|M) ne dépend donc que des nombres cardinaux M = a et N = b ; cela nous conduit à la définition de a^b

(4)

ab = (N|M).

Pour trois ensembles quelconques, M, N et P, on démontre facilement les théorèmes suivants :

(5)

[(N|M) × (P|M)] ∼ [(N, P)|M]

(6)

[(P|M) × (P|N)] ∼ [P|(M × N)]

(7)

[P|(N|M)] ∼ [(P × N)|M]