et, par suite, les ensembles S et (M × N) se correspondent d’une manière biuniforme lorsque l’on associe mn et (m, n).
De nos définitions résultent immédiatement les théorèmes
| (9) | a × b = b × a |
| (10) | a × (b × c) = (a × b) × c |
| (11) | a × (b + c) = ab + ac |
parce que
L’addition et la multiplication des puissances sont ainsi soumises aux lois commutative, associative et distributive.
§ 4. — L’exponentiation des puissances.
Nous disons d’une loi qui, à chaque élément n de N fait correspondre un élément déterminé de M, le même élément pouvant être employé plusieurs fois, qu’elle réalise une représentation (Belegung) de l’ensemble N sur les éléments de l’ensemble M, ou, plus simplement, une représentation de N sur M. L’élément de M associé ainsi à n est, d’une certaine façon, une fonction uniforme de n et peut, par exemple, être désigné par f(n) ; f(n) est la fonction de représentation de n ; la représentation correspondante de N sera désignée par f(N).
Deux représentations f1(N) et f2(N) sont alors, et seulement alors, dites identiques lorsque pour tous les éléments n de N on a l’équation
| (1) | f1(n) = f2(n) |
de sorte que si pour un seul élément particulier n = n0 cette équation n’est pas vérifiée, les représentations f1(N) et f2(N) sont considérées comme distinctes.
