l’hypoténuse si facile à tracer, si nettement déterminée dans l’espace, ne comporte aucune mesure exacte, aucun nombre défini. Si l’hypoténuse est commensurable avec le côté du triangle rectangle isocèle, le rapport peut être mis sous forme d’une fraction irréductible . Le théorème de Pythagore montre immédiatement que d est pair, d’où l’on peut conclure, puisque d et c sont premiers entre eux, que c est impair. Mais la parité de d permet d’exprimer le théorème sous la forme suivante :
ce qui entraînerait la parité de c ; et si d et c sont supposés commensurables, il résulte de l’hypothèse que c est à la fois impair et pair.
Cette ligne qui devrait être à la fois paire et impaire, ne pouvant être représentée ou exprimée par aucun nombre, n’a pas d’état civil qui lui permette d’être reçue dans le monde mathématique du pythagorisme.
Il y a donc des grandeurs qui ne sont pas numériquement exprimables, et pourtant elles existent. Ce qui vient compliquer la question et en rendre les termes mêmes inextricables, ce qui va verser dans les esprits comme un poison intellectuel dont l’effet se fait encore sentir à travers les siècles, c’est cette malheureuse circonstance que les Grecs, ignorant toute autre langue que la leur, désignaient d’un même mot : Logos, la raison et le calcul d’une part, de l’autre l’expression verbale, de sorte que par une habitude qui s’était enracinée en eux jusqu’à prendre la force d’une nécessité interne, le numériquement inexprimable devait leur apparaître comme irrationnel. D’où résulte qu’ils ont vu un scandale inexpiable, l’œuvre d’une malice diabolique, dans la plus belle de leurs découvertes, celle qui attestait le mieux la portée de leur méthode incorruptible et irréprochable, et qui, avec l’analyse infinitésimale et la physique mathématique des modernes, a ouvert à l’intelligence scientifique les horizons les plus imprévus dans le
