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de surface la partie du fluide située du côté positif de la face, sur celle qui est du côté négatif.

Si l’on considère un petit élément de volume $dxdydz$ ayant la forme d’un parallélépipède dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées, les forces $X_{x},\cdots ,Z_{z}$ variables en $x,y,z,t$ appliquées aux faces du parallélépipède ont pour projection totale sur Ox :

$\left({\frac {\partial X_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial X_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial X_{z}}{\partial z}}\right)dxdydz$

Les équations du mouvement d’un fluide sans frottement sont donc

${\begin{aligned}{\frac {\partial X_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial X_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial X_{z}}{\partial z}}+X_{e}&=\rho \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}\right),\\{\frac {\partial Y_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial Y_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial Y_{z}}{\partial z}}+Y_{e}&=\rho \left({\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}\right),\\{\frac {\partial Z_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial Z_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial Z_{z}}{\partial z}}+Z_{e}&=\rho \left({\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}\right).\end{aligned}}$

en appelant $X_{e},Y_{e},Z_{e}$ la force extérieure appliquée à l’unité de volume (pesanteur, force électrique, électromagnétique, etc.).

La densité $\rho$ varie, d’un point à l’autre, lorsque le fluide est compressible.

L’excès de la masse de liquide qui s’accumule dans l’élément de volume pendant l’unité de temps est

$-\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho w)\right]\cdot dx\cdot dy\cdot dz\cdot dt$

Or, ce qui s’accumule ainsi est aussi égal à ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz\cdot dt$ d’où l’équation de continuité

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho w)=0$

18. Relations entre les pressions sur différentes faces. — Dans uo fluide parfait, les composantes des pressions $X_{x},Y_{y},\cdots ,Z_{z}$ se réduisent à une pression uniforme

$X_{x}=Y_{y}=Z_{z}=-p,\qquad X_{y}=Y_{x}=Y_{z}=Z_{y}=X_{z}=Z_{x}=0$ ;

mais il n’en est pas de même dans les fluides naturels. Les expériences de Coulomb, sur les couples qui résistent à la rotation de corps de révolution, mettent hors de doute l’existence des forces tangentielles $X_{y},\cdots ,Z_{x},\cdots$