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devant une règle divisée. Partant d’une amplitude déterminée $a_{0}$ on compte le nombre d’oscillations n nécessaire pour que l’amplitude soit réduite à ${\frac {7}{8}}a_{0}$. Voici l’une des séries citées (p. 285) :

$a_{0}$	$n$	d’où	$a_{1}-a_{0}$
2 pouces	164		1:656 de pouce
4  »	121		1:242  »
8  »	69		1:69  »
16  »	35,5		4:71  »
32  »	18,5		8:37  »
64  »	9,7		24:29  »

Pour les grandes amplitudes initiales $a_{1}-a_{0}$ est sensiblement proportionnel à $a_{0}^{2}$, mais aux petites amplitudes la perte $a_{1}-a_{0}$ est plus grande qu’il ne résulterait de là. La théorie précédemment développée permet à Newton de conclure que la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse quand la vitesse est grande, et de calculer complètement la loi de la résistance à toutes les vitesses. Voici les nombres que Newton tire de l’expérience citée plus haut :

${\frac {Resistance}{Poids~de~la~boule}}={\frac {{\frac {7}{11}}0,0000916V+{\frac {16}{23}}0,0010847V^{3/2}+0,0029558V^{2}}{longueur~du~pendule}}$

Plusieurs autres expériences conduisent à des résultats analogues. En particulier, la boule de bois subit une résistance dont le terme en $V^{2}$ est $7{\frac {1}{3}}$ fois celui de la boule de plomb, tandis que le rapport des carrés des diamètres est $11{\frac {13}{16}}$ ; Newton, ayant été conduit par sa théorie à regarder la résistance due à l’inertie du fluide comme proportionnelle au carré des diamètres, admet que l’écart entre $7{\frac {1}{3}}$ et $11{\frac {13}{16}}$ provient de la résistance due au fil qui serait ainsi comparable au tiers de celle due à la boule de plomb, et il s’en assure en refaisant l’essai avec une très grosse boule de bois (19 pouces), de manière à réduire l’importance de la résistance du fil.

La théorie ayant indiqué que le terme en $V^{2}$ dans la résistance est proportionnel à la densité du fluide. Newton fait de nouvelles expériences, dans lesquelles la boule du pendule oscille dans une auge pleine d’eau ; il trouve (p. 289) que la résistance éprouvée dans l’eau est ${\frac {533}{1,2}}$ fois celle due à l’air, et admet que, si le fil aussi avait été plongé dans l’eau, le rapport aurait été 800 ou 900, c’est-à-dire celui des densités de l’air et de l’eau, à peu de chose près ; car, ajoute-t-il, « fluida tenaciora, pari densitate, procul dubio, magis résistant quam liquidiora, ut oleum, frigidum quam calidum, calidum quam aqua