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une valeur très-approchée pour $\cos 10^{\prime \prime }$, en prenant

$\cos 10^{\prime \prime }=1-2{\frac {(\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime })^{2}}{4}}=1-{\frac {(\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime })^{2}}{2}}$.

Cherchons une limite supérieure de l’erreur. On a
valeur exacte                                  $\cos a=1-2\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$,
valeur approchée par défaut          $\cos a=1-2{\frac {a^{2}}{4}}$.

En désignant par e leur différence, on trouve

$e=2\left({\frac {a^{2}}{4}}-\sin ^{2}{\frac {a}{2}}\right)=2\left({\frac {a}{2}}+\sin {\frac {a}{2}}\right)\ \left({\frac {a}{2}}-\sin {\frac {a}{2}}\right)$.

et en remplaçant ${\frac {a}{2}}+\sin {\frac {a}{2}}$x parx ${\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}$, quantité plus grande, on a

$e<2a\left({\frac {a}{2}}-\sin {\frac {a}{2}}\right)$.

De plus, la différence ${\frac {a}{2}}-\sin {\frac {a}{2}}$ est moindre que le quart de ${\frac {a^{3}}{8}}$ on aura donc à plus forte raison

$e<2a{\frac {a^{3}}{8\times 4}}$xxouxx$e<{\frac {a^{4}}{16}}$.

Ainsi, en prenant pour le cosinus d’un arc l’excès de 1 sur la moitié du carré de cet arc, on commet une erreur moindre que la 16^e partie de la 4^e puissance de cet arc.

Or l’arc de $10^{\prime \prime }$ étant moindre que $0{,}00005$, on trouve
                              $(\mathrm {arc} 10^{\prime \prime })^{4}<625$ unités du 20^e ordre décimal,
                         ${\frac {1}{16}}(\mathrm {arc} 10^{\prime \prime })^{4}<\ \ \ \;1$ unités du 18^e ordre décimal.

Cette méthode fournit donc la valeur de $\cos 10^{\prime \prime }$ avec 18 chiffres décimaux exacts.

Pour effectuer le calcul, on doit d’abord chercher le carré de l’arc de $10^{\prime \prime }$ avec 18 chiffres décimaux par la multiplication