En effet, soit a un arc < 90° ; nous aurons et
, ce qu’on peut écrire ainsi :
.
Divisant tous les termes par , on obtient
.
Le rapport est donc compris entre 1 et la quantité variable , qui est plus grande que 1, mais qui diminue avec l’arc, puisqu’alors augmente.
De plus, s’approche indéfiniment de 1 à mesure que l’arc tend à se réduire à 0°.
Ainsi, à la limite, le rapport est compris entre 1 et 1, ce qui revient à dire que l’arc et son sinus diffèrent de moins en moins à mesure que l’arc diminue, et qu’un arc infiniment petit est rigoureusement égal à son sinus.
D’après cela, si l’on calcule la longueur d’un arc très-petit, de par exemple (le rayon étant pris pour unité), cette longueur sera à très-peu près la valeur de ; or on a
,
xxx,
xxx,
On trouve donc
3o Cherchons maintenant le degré d’approximation de cette valeur.
De on tire ; la multiplication des deux membres par donne
ou
.