Page:Bovier-Lapierre - Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne 1868.djvu/88

On a donc

$a\sin \alpha +b\cos \alpha ={\frac {a\sin(\alpha +\varphi )}{\cos \varphi }}$.

Cette transformation appliquée à l’équation

$a\sin x+b\cos x=k$

permet de la résoudre plus simplement que par la méthode qui consisterait, à remplacer $\cos x$ par ${\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$.

2^o Transformer en un produit $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \mathrm {C} }}$.

Cette formule est celle qui donne un côté d’un triangle quand on connaît les deux autres et l’angle compris entre eux.

Observons d’abord que si on pouvait isoler $2ab$ sous le radical, la quantité $a^{2}+b^{2}-2ab$ étant le carré de $a-b$, il n’y aurait plus qu’un binôme sous le radical. Or on a

$\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \mathrm {C} }{2}}}$, d’où $\cos \mathrm {C} =1-2\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}$.

En substituant cette valeur sous le radical, on trouve

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab+4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}}={\sqrt {(a-b)^{2}+4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}}$.

Appliquant la méthode générale, on a

$c={\sqrt {(a-b)^{2}\left(1+{\frac {4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}{(a-b)^{2}}}\right)}}=(a-b){\sqrt {1+{\frac {4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}{(a-b)^{2}}}}}$ ;

puis posant

${\frac {4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}{(a-b)^{2}}}=\operatorname {tang} ^{2}\varphi$,

et substituant sous le radical, on a

$c=(a-b){\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}=(a-b)\sec ^{2}\varphi ={\frac {a-b}{\cos ^{2}\varphi }}$.

Ainsi on pourrait aussi résoudre le troisième cas des triangles (n^o 41) au moyen des relations