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Or, quel que soit ${\frac {b}{a}}$, on peut toujours le regarder comme la valeur de la tangente d’un angle $\varphi$ qu’on déterminera en posant $\operatorname {tang} \varphi ={\frac {b}{a}}$. On a donc

$a+b=a(1+\operatorname {tang} \varphi )=a\left(1+{\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right)={\frac {a}{\cos \varphi }}(\cos \varphi +\sin \varphi )$.

Puis, transformant la somme du cosinus et du sinus (n^o 38), on obtient

$a+b={\frac {a{\sqrt {2}}\cos(45^{\circ }-\varphi )}{\cos \varphi }}$.

On pourrait aussi regarder ${\frac {b}{a}}$ comme le carré de la tangente d’un angle $\varphi ^{\prime }$ qu’on déterminerait en posant $\operatorname {tang} ^{2}\varphi ^{\prime }={\frac {b}{a}}$. On aurait alors

$a+b=a(1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi ^{\prime })=a\sec ^{2}\varphi ^{\prime }={\frac {a}{\cos ^{2}\varphi ^{\prime }}}$.

S’il s’agissait d’un trinôme, on suivrait une marche analogue en posant par exemple $a+b+c=a\left(1+{\frac {b+c}{a}}\right)$.

54. La méthode précédente peut être modifiée dans certains cas suivant les quantités à transformer, comme on va le voir dans les exemples suivants.

1^o Transformer en produit la somme $a\sin \alpha +b\cos \alpha$.

On a d’abord

$a\sin \alpha +b\cos \alpha =a(\sin \alpha +{\frac {b}{a}}\cos \alpha )$ ;

posant ${\frac {a}{b}}=\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}$ et substituant, on obtient, pour le second membre,

$a(\sin \alpha +{\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}\cos \alpha )={\frac {a}{\cos \varphi }}(\sin \alpha \cos \varphi +\sin \varphi \cos \alpha )$.