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CHAPITRE X.

TRANSFORMATION D’UNE SOMME EN UN PRODUIT.

52. On a déjà vu (n^o 38) comment on peut remplacer par un produit la somme et la différence de deux sinus ou cosinus. Cette transformation peut avoir lieu très-simplement dans d’autres cas ; nous allons indiquer les plus importants.

1^o Somme et différence de deux tangentes.

On a :

$\operatorname {tang} a\pm \operatorname {tang} b={\frac {\sin a}{\cos a}}\pm {\frac {\sin b}{\cos b}}={\frac {\sin a\cos b\pm \sin b\cos a}{\cos a\cos b}}$ ;

on obtient donc

$\operatorname {tang} a\pm \operatorname {tang} b={\frac {\sin(a\pm b)}{\cos a\cos b}}$.

2^o Somme des tangentes des trois angles d’un triangle.

On a $\mathrm {C} =180^{\circ }-(\mathrm {A+B} )$, d’où $\operatorname {tang} (\mathrm {A+B} )=-\operatorname {tang} \mathrm {C}$.

Développant $\operatorname {tang} (\mathrm {A+B} )$ d’après la formule (15), on trouve

${\frac {\operatorname {tang} \mathrm {A} +\operatorname {tang} \mathrm {B} }{1-\operatorname {tang} \mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {B} }}=-\operatorname {tang} \mathrm {C}$,

et en chassant le dénominateur, on a

$\operatorname {tang} \mathrm {A} +\operatorname {tang} \mathrm {B} +\operatorname {tang} \mathrm {C} =\operatorname {tang} \mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {B} \operatorname {tang} \mathrm {C}$.

3^o Somme des sinus des trois angles d’un triangle.

On a d’abord
(n)          $\mathrm {\sin A+\sin B+\sin C=\sin A+\sin B+\sin(A+B)}$.

La formule (12) donne

$\mathrm {\sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}$ ;