Prenons la formule : .
Pour qu’elle donne pour une valeur réelle, il faut que la quantité placée sous le radical soit positive et ne surpasse pas 1.
Il faut donc qu’on ait
xxetxx, ou, en chassant le dénominateur,
(m) xxetxx.
La première de ces deux inégalités sera satisfaite si l’on a
xxet
xx,
ou en remplaçant par , supprimant le dénominateur 2 et transposant les termes,
xxet
xx.
Ainsi chacun des côtés b et c doit être plus petit que la somme des deux autres.
Pour trouver la condition exprimée par la seconde des deux inégalités (m), remplaçons-y par ; nous trouvons
xxou
xx.
En effectuant la multiplication, transposant les termes et réduisant, nous avons
xxou
xx.
Ainsi le troisième côté doit, comme les deux premiers, être plus petit que la somme des deux autres, ce qui est la condition indiquée par la géométrie.