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Il faut éliminer deux des trois angles. Or on a

${\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, d’oùxx $\sin \mathrm {B} ={\frac {b\sin \mathrm {A} }{a}}$ ;

${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, d’oùxx $\sin \mathrm {C} ={\frac {c\sin \mathrm {A} }{a}}$ ;

$\cos \mathrm {B} ={\sqrt {1-\sin ^{2}\mathrm {B} }}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }{a^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }{a^{2}}}}$.

La substitution de ces trois valeurs dans l’égalité (l) donne

${\frac {c\sin \mathrm {A} }{a}}=\sin \mathrm {A} {\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }{a^{2}}}}+{\frac {b\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {A} }{a}}$.

Supprimant le facteur ${\frac {\sin \mathrm {A} }{a}}$ commun à tous les termes, et transposant,
on a

$c-b\cos \mathrm {A} ={\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }}$.

Enfin, élevant les deux membres au carré, transposant les termes, et observant qu’on a $b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} +b^{2}\cos ^{2}\mathrm {A} =b^{2}$, on trouve

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \mathrm {A}$.

Remarque. Les côtés et les angles d’un triangle ont entre eux une relation unique ; mais cette relation s’exprime sous trois formes différentes qui sont les trois systèmes d’égalités (6), (7), (26).

51. Discussion du cas où l’on connaît les trois côtés du triangle.

Quand on prend arbitrairement les trois données nécessaires pour la résolution d’un triangle, le problème n’est pas toujours possible. On a déjà discuté cette question (n^o 33) pour le cas de deux côtés et de l’angle opposé à l’un de ces côtés. Le cas où l’on donne un côté et deux angles et celui où l’on donne deux côtés et l’angle compris n’offrent aucune difficulté. Nous allons examiner le cas où l’on donne les trois côtés, c’est-à-dire chercher quelles conditions sont imposées aux trois côtés a, b, c pour que le triangle soit possible.