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CHAPITRE IX.

COMPLÉMENT DE LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES.

49. Cas où l’on connaît seulement les angles d’un triangle.

La géométrie apprend qu’un triangle n’est pas déterminé quand on ne connaît que ses angles. La trigonométrie va nous conduire au même résultat.

Pour cela, traitons le problème comme s’il devait être déterminé, et prenons les trois équations

xxxx(7)xxxxxxxxxxxxxxx	$a^{2}\,=\,b^{2}+c^{2}-2bc\cos \mathrm {A}$,
	$b^{2}\,=\,a^{2}+c^{2}-2ac\cos \mathrm {B}$,
	$c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \mathrm {C}$.

Pour éliminer deux des trois inconnues a, b, c, additionnons membre à membre la première avec la seconde, la première avec la troisième, et la seconde avec la troisième ; nous obtiendrons, après la suppression des facteurs communs,

xxxx(26)xxxxxxxxxxxxxxx	$c\,=\,a\cos \mathrm {B} +b\cos \mathrm {A}$,
	$b\,=\,a\cos \mathrm {C} +c\cos \mathrm {A}$,
	$a\,=\,b\cos \mathrm {C} +c\cos \mathrm {B}$.

Maintenant, en substituant dans les deux dernières équations de ce système la valeur de c donnée par la première, nous obtiendrons

$b=a\cos \mathrm {C} +a\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} +b\cos ^{2}\mathrm {A}$,

$a=b\cos \mathrm {C} +b\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} +a\cos ^{2}\mathrm {B}$.

Par la transposition des termes, on a

$b(1-\cos ^{2}\mathrm {A} )=a(\cos \mathrm {C} +\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} )$,

$a(1-\cos ^{2}\mathrm {B} )=b(\cos \mathrm {C} +\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} )$,