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44. Calculer la surface d’un quadrilatère, étant donnés les deux diagonales et l’angle qu’elles forment entre elles.

Remarquons (fig. 15) d’abord que l’angle aigu et l’angle obtus adjacents que les diagonales forment à leur intersection étant supplémentaires, leurs

Fig. 15.

sinus sont égaux : désignons l’angle aigu par $\alpha$.

D’après la formule (20), on a

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {ABO} =\mathrm {AO\times BO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$,

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {ADO} =\mathrm {AO\times DO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$,

$\mathrm {BCO} =\mathrm {CO\times BO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$ ;

$\mathrm {CDO} =\mathrm {CO\times DO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$.

En additionnant membre à membre les deux égalités de chacun des deux groupes, on obtient

$\mathrm {ABC} =\mathrm {AC\times BO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$,xxx$\qquad \qquad \quad \mathrm {ACD} =\mathrm {AC\times DO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$.

L’addition de ces deux dernières égalités, membre à membre, donne enfin

(23)                                   $\mathrm {ABCD} ={\frac {\mathrm {AC\times BD} \times \sin \alpha }{2}}$.

Donc la surface d’un quadrilatère est égale au demi-produit des deux diagonales multiplié par le sinus de l’angle aigu qu’elles forment entre elles.

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