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Pour résoudre cette question, il suffit d’éliminer le côté b de la formule (20). Or la proportion ${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}$ donne $b={\frac {a\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} }}$ ; cette valeur de b substituée dans la formule (20) donne

(21)                                   $\mathrm {ABC} ={\frac {a^{2}\sin \mathrm {B} \sin \mathrm {C} }{2\sin \mathrm {A} }}$.

Donc la surface d’un triangle est égale au carré d’un côté multiplié par le produit des sinus des deux angles adjacents à ce côté, et divisé par le double du sinus du troisième angle.

3^o Calculer la surface d’un triangle, étant donnés les trois côtés.

Il faut chercher sin C en fonction des trois côtés, et substituer le résultat dans la formule (20).

D’après le n^o 36, on a

$\sin \mathrm {C} =2\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}$ ;

les formules (17) et (18) donnent aussi

$\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{ab}}}$,xxx$\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-c)}{ab}}}.$

En substituant ces valeurs dans celle de sin C, on trouve

$\sin \mathrm {C} =2{\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{ab}}}\times {\sqrt {\frac {p(p-c)}{ab}}}={\frac {2}{ab}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

Enfin ce résultat, substitué à sin C dans la formule (20), donne

(22)                                   $\mathrm {ABC} ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

Donc, la surface d’un triangle est égale à la racine carrée du produit du demi-périmètre multiplié par l’excès de ce demi-périmètre sur chacun des trois côtés.