Pour résoudre cette question, il suffit d’éliminer le côté b de la formule (20). Or la proportion donne ; cette valeur de b substituée dans la formule (20) donne
(21) .
Donc la surface d’un triangle est égale au carré d’un côté multiplié par le produit des sinus des deux angles adjacents à ce côté, et divisé par le double du sinus du troisième angle.
3o Calculer la surface d’un triangle, étant donnés les trois côtés.
Il faut chercher sin C en fonction des trois côtés, et substituer le résultat dans la formule (20).
D’après le no 36, on a
les formules (17) et (18) donnent aussi
En substituant ces valeurs dans celle de sin C, on trouve
Enfin ce résultat, substitué à sin C dans la formule (20), donne
(22) .
Donc, la surface d’un triangle est égale à la racine carrée du produit du demi-périmètre multiplié par l’excès de ce demi-périmètre sur chacun des trois côtés.