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égale à la somme de ces quantités, multipliée par leur différence, on a

$\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{4bc}}}$.

Cette formule est calculable par logarithmes ; mais on peut lui donner une forme plus simple. Pour cela, représentons le périmètre du triangle par 2p, ce qui est exprimé par l’égaillé $a+b+c=2p$. En ôtant 2c aux deux membres et en ôtant de même 2b, on trouve

${\begin{aligned}a+b-c&=2p-2c=2(p-c),\\a-b+c&=2p-2b=2(p-b).\end{aligned}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans celle qu’on vient de trouver pour $\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}$, on obtient, après la suppression du facteur 4 commun aux deux termes,
(17)                                   $\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}$.

Il suffit d’examiner la composition de ce résultat pour l’appliquer aux deux autres angles, sans recommencer ces calculs. On trouve

$\sin {\frac {\mathrm {B} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{ac}}},\qquad \sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{ab}}}$.

2^o Si on opère de la même manière sur les égalités

$\cos {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \mathrm {A} }{2}}},\qquad \cos \mathrm {A} ={\frac {b^{2}+c^{2}-a}{2bc}}$.

on obtiendra
(18)                                   $\cos {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}$.