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Calcul de c.

$c={\frac {(a+b)\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}}{\cos {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}}}$.	${\begin{aligned}\log(a+b)&=2{,}60079\\\log \sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}\ &={\overline {1}}{,}76618\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\log c=\log(a+b)+\log \sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}&\\-\log \cos {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}.&\end{aligned}}$	$\quad -\log \cos {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}=0{,}00266$.
${\frac {\mathrm {C} }{2}}=35^{\circ }42^{\prime }37^{\prime \prime }$.	${\begin{aligned}\qquad \quad \ \ \ {\frac {\qquad }{\log c\qquad =2{,}36963}}&\\2342\ldots \ldots \ldots \ldots 59\,&\end{aligned}}$
	$\qquad \qquad \quad \ \ 02\ldots \ldots \ldots \ldots {\overline {40|{\underline {18}}}}$
	$\quad \ c=234^{\mathrm {m} }{,}22\qquad \qquad \qquad \ \ \,|\ \ 2$

42. Quatrième cas. — Résoudre un triangle en connaissant les trois côtés a, b et c.

1^o Nous avons déjà (n^os 36 et 33) les égalités

$\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \mathrm {A} }{2}}},\qquad \cos \mathrm {A} ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$.

Remplaçons dans la première $\cos {\rm {A}}$ par sa valeur que donne la seconde ; nous aurons

$\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}{2}}}={\sqrt {\frac {2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{4bc}}}$.

Or $2bc-b^{2}-c^{2}$ est le carré de $b-c$ qui aurait été changé de signe, ou, ce qui est la même chose, qui aurait été retranché de $a^{2}$ au lieu de lui être ajouté dans le numérateur de la fraction placée sous le second radical. On peut donc écrire

$\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {a^{2}-(b^{2}+c^{2}-2bc)}{4bc}}}={\sqrt {\frac {a^{2}-(b-c)^{2}}{4bc}}}$.

Mais la différence des carrés des quantités a et b - c étant