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$\mathrm {\operatorname {tang} {\frac {A-B}{2}}\ =\ {\operatorname {tang} {\frac {A+B}{2}}}} \times {\frac {a-b}{a+b}}$.

La somme et la différence des angles A et B étant ainsi connues, on sait que le plus grand est égal à la demi-somme plus la demi-différence, et que le plus petit est égal à la demi-somme moins la demi-différence.

Pour calculer ensuite le côté c, on a

${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, xxxd’où $c={\frac {a\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {A} }}$.

Remarque — On peut obtenir le côté c un peu plus simplement. En effet, d’après un principe concernant une suite de rapports égaux, la suite ${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$ donne

${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}={\frac {a+b}{\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }}$, xxxxxxx$c={\frac {(a+b)\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }}$.

Or la formule (12) donne

$\mathrm {\sin A=\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}$ ;

la formule (10) donne aussi

$\mathrm {\sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}$.

En substituant ces résultats dans la valeur trouvée pour c, on obtient

$c\ =\ {\frac {(a+b)\;2\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}}{2\sin {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\cos {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}}}\ =\ {\frac {(a+b)\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}}{\cos \mathrm {\frac {A-B}{2}} }}$ ;

car ${\frac {\mathrm {C} }{2}}$ étant le complément de ${\frac {\mathrm {A+B} }{2}}$, le facteur $\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}$ est égal au facteur $\sin {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}$.

Par cette dernière méthode, on utilise dans le calcul du côté c le logarithme de a  +  b, déjà employé dans le calcul des an-