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CHAPITRE VI.

RÉSOLUTION D’UN TRIANGLE.

41. Troisième cas. — Résoudre un triangle en connaissant deux côtés a et b, et l’angle C compris entre eux.

Cherchons d’abord les angles A et B. Nous connaissons déjà leur somme qui est égale à 180° – C ; il suffit donc d’obtenir leur différence.

La formule (14) donne déjà

$\mathrm {{\frac {\sin A+\sin B}{\sin A-\sin B}}\ =\ {\frac {\operatorname {tang} {\frac {A+B}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {A-B}{2}}}}}$.

Pour remplacer le premier membre par une valeur exprimée en fonction des côtés donnés a et b, nous emploierons la proportion ${\frac {\sin \mathrm {A} }{a}}={\frac {\sin \mathrm {B} }{b}}$. D’après un principe démontré en arithmétique, on en tire

$\mathrm {\frac {\sin A+\sin B}{\sin A-\sin B}} \ =\ {\frac {a+b}{a-b}}$.

Les premiers membres de cette égalité et de la première étant égaux, on a
(16)                                   $\mathrm {\frac {\operatorname {tang} {\frac {A+B}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {A-B}{2}}}} \ =\ {\frac {a+b}{a-b}}$.

C’est là l’équation qui permet de calculer la différence des angles A et B ; car on en tire