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la seconde des formules (10), on obtient  $\cos a=\cos ^{2}{\frac {a}{2}}-\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$
On a de plus (n^o 13).........$1=\cos ^{2}{\frac {a}{2}}+\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$
Telles sont les deux équations du problème.

En les additionnant membre à membre, on trouve

$1+\cos a=2\cos ^{2}{\frac {a}{2}}$,xxxd’oùxxx$\cos {\frac {a}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}$.

En retranchant la première de la seconde, on trouve

$1-\cos a=2\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$,xxxd’oùxxx$\sin {\frac {a}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}$.

Comme l’arc a ne doit pas surpasser 180°, l’arc ne peut surpasser 90° ; par conséquent, et ne peuvent prendre que le signe +. On a donc les deux formules suivantes
(11)$\qquad \qquad \sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}$,$\quad \cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}$.

38. Problème IV. — Transformer en un produit la somme et la différence de deux sinus ou cosinus.

1^o En additionnant membre à membre les égalités

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$,

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$,

puis en retranchant la seconde de la première, on trouve

$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$,

$\sin(a-b)-\sin(a-b)=2\sin b\cos a$.

Ces deux formules résolvent le problème ; mais elles ne peuvent pas être traduites facilement en langage ordinaire, c’est-à-dire donner la règle à suivre pour remplacer la somme ou la différence des sinus de deux arcs par un produit équivalent.

Pour y parvenir désignons par p le premier arc a + b et par