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On a doncxxx$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a.$

2^o Pour calculer LS = sin (a - b), menons LD parallèle à OA ; nous avons alors : sin (a - b) = KH - KD = KH - CN.
Doncx $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a.$

3^o Nous avons

$\cos(a+b)={\rm {OQ=OH-QH=OH-CK.}}$

Les triangles semblables OHK, OMP donnent

$\mathrm {{\frac {OH}{OP}}={\frac {OK}{OM}}}$,xxxouxxx${\frac {\mathrm {OH} }{\cos a}}={\frac {\cos b}{1}}$,xxxd’oùxxx$\mathrm {OH} =\cos a\cos b.$

Les triangles semblables CKN, OMP donnent

$\mathrm {{\frac {CK}{MP}}={\frac {NK}{OM}}}$,xxxouxxx${\frac {\mathrm {CK} }{\sin a}}={\frac {\sin b}{1}}$,xxxd’oùxxx$\mathrm {CK} =\sin a\sin b$ ;

Doncxxx$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin aa\sin b.$

4^o Nous avons

$\cos(a-b)={\rm {OS=OH+HS=OH+DL=OH+CK}}$ ;

Doncxxx$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

Remarque. — La démonstration a été donnée sur une figure où la somme des arcs a et b est moindre que 90°, et l’arc b plus petit que l’arc a. Elle se répéterait de la même manière si cette somme était supérieure à 90°, et si l’arc b était plus grand que l’arc a. Il est seulement nécessaire de bien faire attention au signe que doit prendre le cosinus.

Fig. 13.

En effet, considérons la figure 13 où l’on a conservé les mêmes lettres que dans la figure précédente. Nous avons, par