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CHAPITRE V.

FORMULES DIVERSES.

35. Problème I. — Étant donnés les sinus et les cosinus de deux arcs, trouver le sinus et le cosinus de la somme et de la différence de ces arcs.

Désignons par a l’arc AM et par b les deux arcs égaux MN et ML (fig. 12) ; l’arc AN sera égal à a + b et l’arc AL égal à a – b.

Fig. 12.

Le rayon OM est perpendiculaire au milieu K de la corde NL.
Menons ensuite NQ, KH et MP perpendiculaires sur OA ; nous avons ainsi

MP = $\sin a$, OP = $\cos a$, NK = $\sin b$, OK = $\cos b$,
NQ = $\sin(a+b)$, OQ = $\cos(a+b)$,
LS = $\sin(a-b)$, OS = $\cos(a-b)$.

1^o Pour calculer NQ = sin (a + b), menons KC parallèle à OA ; nous avons alors

Les triangles semblables OKH, OMP donnent

$\mathrm {{\frac {KH}{MP}}={\frac {OK}{OM}}}$ ou ${\frac {\mathrm {KH} }{\sin a}}={\frac {\cos b}{1}}$, d’où $\mathrm {KH} =\sin a\cos b$.

Les triangles semblables CNK, OMP donnent

$\mathrm {{\frac {CN}{OP}}={\frac {NK}{OM}}}$ ou ${\frac {\mathrm {CN} }{\cos a}}={\frac {\sin b}{1}}$, d’où $\mathrm {CN} =\sin b\cos a$.