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blème a donc deux solutions. En d’autres termes, on trouve deux triangles différents ayant tous deux un angle égal à A et deux côtés égaux à a et b, le côté égal à a étant opposé à l’angle A. Dans le premier triangle, l’angle opposé au côté b est aigu ; dans le second, il est obtus.

Désignons par B′ cet angle obtus qui est le supplément de l’angle aigu B ; nous aurons le troisième angle C′ de ce second triangle d’après l’égalité $\mathrm {C} ^{\prime }=180^{\circ }-\mathrm {(A+B^{\prime })}$.

Le côté c′ opposé à l’angle C′ sera donné par la relation

${\frac {c^{\prime }}{\sin \mathrm {C^{\prime }} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$,xxd’oùxx$c^{\prime }={\frac {a\sin \mathrm {C^{\prime }} }{\sin \mathrm {A} }}$.

Exemple. — Dans un triangle, on a a = 64^m,28, b = 75^m,34, A = 36° 25′ 14′′ ; calculer le côté c et les angles B et C.

D’après ce qui vient d’être dit, ce problème présente deux solutions.

Calcul de B et de B′.

${\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, $\sin \mathrm {B} ={\frac {b\sin \mathrm {A} }{a}}$,

$\log \sin \mathrm {B} =\log b+\log \sin \mathrm {A} -\log a$,

$\mathrm {B} ^{\prime }=180-\mathrm {B}$.

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${\begin{aligned}\log b&=1{,}87703\\\log \sin \mathrm {A} &={1}{,}77357\\-\log a&={\overline {2}}{,}19192\end{aligned}}$

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$\log \sin \mathrm {B} ={\overline {1}}{,}84252$

$44^{\circ }5^{\prime }\ \ \ldots \ldots \ldots \ \ 42$

${\tfrac {\qquad \qquad \quad }{\ }}$xxxxxxxx

$\qquad 46^{\prime \prime }\ \ \ldots \ldots \ \ 10$

$\qquad \qquad \qquad \quad \ \ 60$

$\qquad \qquad \qquad \quad {\tfrac {\qquad }{}}$

${\begin{aligned}\qquad \qquad \qquad \qquad 600&|13\\80&|{\overline {46}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {B} &=\ \ 44^{\circ }\ \ 5^{\prime }46^{\prime \prime }\\\mathrm {B} ^{\prime }=180^{\circ }-\mathrm {B} &=135^{\circ }54^{\prime }14^{\prime \prime }.\end{aligned}}$