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RÉSOLUTION D’UN TRIANGLE QUELCONQUE.

31. La géométrie apprend qu’on peut construire un triangle quand on connaît : 1^o un côté et deux angles ; 2^o deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux ; 3^o deux côtés et l’angle compris entre eux ; 4^o les trois côtés. De là quatre cas à étudier dans la résolution d’un triangle.

Premier cas. — Étant donnés le côté a et les angles A et B, calculer l’angle C et les côtés b et c.

La somme des trois angles étant égale à 180°, on a d’abord $\mathrm {C} \,=\,180^{\circ }-\mathrm {(A+B)}$.
On tire b de la relation ${\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}\,=\,{\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, d’où

$b\,=\,{\frac {a\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} }}$ ;

on tire c de la relation ${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}\,=\,{\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, d’où

$c\,=\,{\frac {a\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {A} }}$.

Exemple. — Résoudre un triangle dans lequel on donne

a = 100^m,48,000A = 47° 36′ 24″,000B = 75° 16′ 32″.

Calcul de C.

                                        $\mathrm {C} \,=\,180^{\circ }-\mathrm {(A+B)}$

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                                        $\mathrm {A} \,=\ \ \,47^{\circ }36^{\prime }24^{\prime \prime }$

                                        $\mathrm {B} \,=\ \ \,75^{\circ }16^{\prime }32^{\prime \prime }$

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                                 $\mathrm {A+B} \,=\,122^{\circ }52^{\prime }56^{\prime \prime }$

                                    $180^{\circ }\,=\ 179^{\circ }59^{\prime }60^{\prime \prime }$

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                                        $\mathrm {C} \,=\ \ \,57^{\circ }\ \ 7^{\prime }\ \ 4^{\prime \prime }$